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初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和c.雅可比(jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性，刘维尔展示了椭圆函数的实质性质，提出如下定理：
刘维尔第1定理：在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；
刘维尔第2定理：椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0；
刘维尔第3定理：n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；
刘维尔第4定理：在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。
后来，到巴黎访问的两位德国数学家c.w.博尔夏特(bor－chardt)和f.约赫姆塔尔(joachithal)向刘维尔详细请教了他的工作情况，而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程，也在c.a.布里奥(bt)与j.c.布凯(bou－quet)所著《双周期函数论》(théorie des foncns doublentpédiques，1859)一书中得到系统介绍。因此，尽管刘维尔的有关结论很少发表，仍能在法国内外迅速传播并产生影响，双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用数学杂志》上。